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    解けそうで解けない問題(2)



    解けそうで解けない問題(1)で書いた
    デロスの問題(立方体倍積問題)についてです。

    最初に与えられた立方体の1辺の長さをa、
    求める体積が2倍の立方体の1辺の長さをx
    とすると関係は

    数式3

    となる。

    すなわち、長さがaの2の立方根倍の線分がコンパスと定規
    で作図できれば解けます。

    ですが、コンパスと定規を用いて引ける線分の長さは、
    加減剰余と平方根を有限回用いて作られるような数だけ
    です。
    ※円と直線を表す各種方程式を連立させて点の位置を求め、
     点どうしの長さは距離の公式で求めるからです。

    結論はコンパスと定規だけでは2の立方根倍となる数を長さ
    にもつ線分は作図不可能ということになります。

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    [ 2011年02月05日 22:11 ] カテゴリ:数学 | TB(0) | CM(0)

    解けそうで解けない問題(1)



    解けそうだけど解けない問題

    1.立方体の1辺の長さが任意に与えられたとき、
      その体積を2倍にする立方体の1辺の長さを
      作図により求める。

    2.任意に与えられた角の3等分線を作図せよ。

    3.任意に与えられた円と同じ面積をもつ正方形
      を作図せよ。


    上記の問題は
    1.立方体倍積問題
    2.角の三等分問題
    3.円積問題
    と呼ばれ、定規とコンパスだけを用いて解かなければ
    ならないというルールがあります。

    ちなみに2500年程前に古代ギリシア人がぶつかった
    難問で、「ギリシアの三大作図問題」として有名です。


    三大作図問題は残念ながら不可能問題として解けないこと
    が証明されました。

    1、2はワンツェルが1837年、3はリンデマンが1882年
    に不可能性を証明しました。



    [ 2011年02月03日 21:49 ] カテゴリ:数学 | TB(0) | CM(0)

    完全数(3)



    メルセンヌ数が発見されると自動的に完全数が導き出せます。
    しかも、偶数になります。


    オイラーは「偶数の完全数でメルセンヌ型でないものは存在するか」
    という問いかけに対して証明しています。

    「奇数の完全数は存在するか」という問いかけに対しては未だだれも
    証明していない問題になっています。

    10の50乗以下は存在しないことが確認されました。
    10の100乗以下も無さそうだといわれています。

    しかし、「奇数の完全数は存在しない」という証明は未だ証明されていない
    そうです。

    [ 2011年02月01日 03:54 ] カテゴリ:数学 | TB(0) | CM(0)

    完全数(2)



    さて、ピタゴラスから2500年以上たった今でも未解決の
    完全数問題ですが、その後1500年間で追加で分かったの
    は3つだけでした。

    suu1

    コンピュータの無い時代にすごいことをしているのが分かると思います。
    524287が素数であることを示すのを手計算で・・・。


    次に「メルセンヌ予想」について

    1644年、フランスの数学者メルセンヌは19より大きく257以下のp
    についてMpが素数になるのは

    suu2

    P=31
    P=67
    P=127
    P=257
    の4つである。
    という予想をしました。

    また、Mpはメルセンヌ数と呼ばれたりします。

    その後、128年が経過し、スイスの数学者オイラーが
    P=31のとき、Mpが素数になることを証明に成功しました。

    さらに100年が経過し、フランスの数学者リュカが
    P=67のとき、素数ではない
    P=127のとき、そすうである
    ことを証明しました。

    リュカの素数判定方法はリュカ・テストと呼ばれ改良を加えられて
    P=61
    P=89
    P=107
    のとき、素数になることが分かりました。

    メルセンヌが予想したPが257以下の場合について
    素因数分解が完了したのは1984年のことだそうです。

    やはり、コンピュータの存在は大きいです。

    ちなみに13番目のメルセンヌ数は
    P=521
    でした。

    [ 2011年01月30日 23:14 ] カテゴリ:数学 | TB(0) | CM(0)

    完全数(1)



    「万物は数である」
    有名なピタゴラス(Pythagoras)の言葉です。
    人間社会の出来事も、その背景には常に数があり、数をもって説明できる。
    というのが理由のようです。

    しかし、上記のような考え方は現在ではほとんど受け継がれていません。
    ですが、「完全数」という問題だけは進行形で残っています。

    価値観は個人によって様々ですが、ピタゴラス派の人々は6、28という
    数に完全性を見出していたようです。

    6、28はそれ自身を除いた全約数の和と等しくなるからです。

    6=2×3=1+2+3
    28=2×2×7=1+2+4+7+14

    完全数の定義は微妙ですが、当時はこの様に考えられていたそうです。

    次に問題になるのが6、28以外で完全数の定義に当てはまる数はいくつ
    存在するかというのが問題になりました。

    そこで登場したのが、ユークリッド(Euclidean)です。
    ------------------------------------------------------------
    1+2+2^2+・・・・・+2^n-1が素数ならば、
    (1+2+2^2+・・・・・+2^n-1)・2^n-1は完全数である。

    ここで、素数とは1とそれ自身以外に真の約数をもたない数です。

    ------------------------------------------------------------
    という証明をしました。

    その結果、n=5、n=7のとき完全数になることが分かりました。

    n=5のときは496
    n=7のときは8128

    この調子で計算を続ければ、次々と完全数が得られそうですが、
    計算量、素数判定の処理が膨大になる。
    例えば、合成数と言って2つ以上の素数に分解できる数と合成できない
    素数であるかの判定はたやすくないようです。

    完全数はいくつあるのか?
    という問題が未解決である本質は上記の点にあるようです。


    [ 2011年01月30日 12:59 ] カテゴリ:数学 | TB(0) | CM(0)
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