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    完全数(1)



    「万物は数である」
    有名なピタゴラス(Pythagoras)の言葉です。
    人間社会の出来事も、その背景には常に数があり、数をもって説明できる。
    というのが理由のようです。

    しかし、上記のような考え方は現在ではほとんど受け継がれていません。
    ですが、「完全数」という問題だけは進行形で残っています。

    価値観は個人によって様々ですが、ピタゴラス派の人々は6、28という
    数に完全性を見出していたようです。

    6、28はそれ自身を除いた全約数の和と等しくなるからです。

    6=2×3=1+2+3
    28=2×2×7=1+2+4+7+14

    完全数の定義は微妙ですが、当時はこの様に考えられていたそうです。

    次に問題になるのが6、28以外で完全数の定義に当てはまる数はいくつ
    存在するかというのが問題になりました。

    そこで登場したのが、ユークリッド(Euclidean)です。
    ------------------------------------------------------------
    1+2+2^2+・・・・・+2^n-1が素数ならば、
    (1+2+2^2+・・・・・+2^n-1)・2^n-1は完全数である。

    ここで、素数とは1とそれ自身以外に真の約数をもたない数です。

    ------------------------------------------------------------
    という証明をしました。

    その結果、n=5、n=7のとき完全数になることが分かりました。

    n=5のときは496
    n=7のときは8128

    この調子で計算を続ければ、次々と完全数が得られそうですが、
    計算量、素数判定の処理が膨大になる。
    例えば、合成数と言って2つ以上の素数に分解できる数と合成できない
    素数であるかの判定はたやすくないようです。

    完全数はいくつあるのか?
    という問題が未解決である本質は上記の点にあるようです。

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    [ 2011年01月30日 12:59 ] カテゴリ:数学 | TB(0) | CM(0)
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